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. Les estimateurs à probabilité maximale n`ont pas de propriétés optimales pour les échantillons finis, dans le sens que (lorsqu`ils sont évalués sur des échantillons finis), d`autres estimateurs peuvent avoir une plus grande concentration autour de la vraie valeur de paramètre. [1] Toutefois, comme d`autres méthodes d`estimation, l`estimation de la probabilité maximale possède un certain nombre de propriétés limitantes attrayantes: comme la taille de l`échantillon augmente à l`infini, les séquences d`estimateurs de probabilité maximale ont ces propriétés: le gradient de la la fonction de probabilité logarithmique négative est la méthode SUR nécessite une estimation de la matrice, ce qui augmente la variabilité d`échantillonnage de l`estimateur pour les petites tailles d`échantillon. Le gain d`efficacité que SUR a sur les OLS est une propriété d`échantillon importante, et vous devez avoir une quantité raisonnable de données pour réaliser ce gain. Pour une discussion plus détaillée sur SUR, voir Pindyck et Rubén (1981, p. 331-333). . Supposons qu`on construit un vecteur gaussien ordre-n des variables aléatoires (x 1,…, x n) {displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n})}, où chaque variable a des moyens donnés par (μ 1,…, μ n) {displaystyle (mu _ {1}, ldots, mu _ {n})}. En outre, laissez la matrice de covariance être notée par Σ {displaystyle {mathit {Sigma}}}. Tout d`abord, considérez le problème dans un contexte de GMM.

Les deux premiers moments de sont facilement dérivées:. Cette méthode nécessite d`estimer les valeurs prédites et par une régression instrumentale préliminaire, ou «première étape». Une régression instrumentale est une régression des régressors dépendants sur un ensemble de variables instrumentales, qui peuvent être des variables indépendantes utiles pour prédire les régressors dépendants. Dans cet exemple, les équations sont linéaires et les variables exogènes pour l`ensemble du système sont connues. Ainsi, le meilleur choix pour les instruments (des variables dans le modèle) sont les variables x et x. Un MLE est le même indépendamment du fait que nous maximisons la probabilité ou le log-vraisemblance, parce que le log est une fonction strictement croissante. Dans les deux cas variables, la fonction de densité de probabilité conjointe est donnée par: cette famille de distributions a deux paramètres: θ = (μ, σ); Nous maximisons donc la probabilité, L (μ, σ) = f (x 1,…, x n ∣ μ, σ) {displaystyle {mathcal {L}} (mu, sigma) = f (x_ {1}, ldots, x_ {n} mid mu, sigma)}, sur les deux paramètres simultanément, ou si possible, individuellement. Une façon de maximiser cette fonction est en différant par rapport à p et en définissant à zéro: est un vecteur de colonne d`instruments pour l`observation. est aussi la e rangée de Z.

Dans les conditions décrites ci-dessous, l`estimateur de vraisemblance maximale est cohérent. La cohérence signifie que si les données ont été générées par f (⋅; θ 0) {displaystyle f (cdot ,; Theta _ {0})} et que nous avons un nombre suffisamment élevé d`observations n, il est possible de trouver la valeur de θ0 avec une précision arbitraire.

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